TRIGONOMETRI PENJUMLAHAN DAN SELISIH DUA SUDUT

Berikut beberapa sudut relasi yang digunakan :
sin (90° - θ) = cos θ
cos (90° - θ) = sin θ
sin (180° - θ) = cos θ
cos (180° - θ) = -sin θ
sin (-θ) = -sin θ
cos (-θ) = cos θ

sin (α + β) dan sin (α - β)

Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Titik P terletak pada lingkaran sehingga OP = 1.
∠ POS = α + β
∠ QOT = ∠ OQR = ∠ QPR = α
Untuk lebih detailnya, perhatikan diagram berikut

Dari segitiga OPS diperoleh
sin (α + β) = PS

PS = RS + PR dan RS = QT, dapat kita tulis
PS = QT + PR, akibatnya
sin (α + β) = QT + PR     .........................(1)

Dari segitiga OPQ diperoleh
PQ = sin β
OQ = cos β

Dari segitiga OQT dipeoleh
sin α = $\frac{QT}{OQ}$
QT = sin α . OQ
QT = sin α . cos β     ..............................(2)

Dari segitiga PQR diperoleh
cos α = $\frac{PR}{PQ}$
PR = cos α . PQ
PR = cos α . sin β     ..............................(3)

Dari (1), (2) dan (3) kita dapatkan
sin (α + β) = QT + PR
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka
sin (α + (-β)) = sin α cos (-β) + cos α sin (-β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β + cos α (-sin β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β - cos α sin β

Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi sinus sebagai berikut :

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Contoh 1
Tentukan nilai eksak dari sin 75°
Jawab :
sin 75° = sin (30° + 45°)
sin 75° = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°
sin 75° = ½ . ½√2 + ½√3 . ½√2
sin 75° = ¼√2 + ¼√6
sin 75° = ¼(√2 + √6)

cos (α + β) dan cos (α - β)

Rumus cos (α + β) dan cos (α - β) dapat kita tentukan dengan cara yang hampir sama seperti rumus sinus diatas. Namun, karena rumus sinus sudah kita peroleh, akan lebih mudah jika kita gunakan konsep sudut relasi kuadran I.

cos (α + β) = sin (90° - (α + β))
cos (α + β) = sin ((90° - α) - β)
cos (α + β) = sin (90° - α) cos β - cos (90° - α) sin β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka
cos (α + (-β)) = cos α cos (-β) - sin α sin (-β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β - sin α (-sin β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β + sin α sin β


Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi cosinus sebagai berikut

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β 

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Contoh 2
Tentukan nilai eksak dari cos 105°
Jawab :
cos 105° = cos (60° + 45°)
cos 105° = cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45°
cos 105° = ½ . ½√2 - ½√3 . ½√2
cos 105° = ¼√2 - ¼√6
cos 105° = ¼(√2 - √6)

•Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°

Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)

b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus

cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B

cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)

c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan

tan 105° = tan (60° + 45°)

Contoh soal rumus sinus:

Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dan
sin (A – B).

Penyelesaian:
cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II)
sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
                  = 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13
                  = –36/65 – 20/65
                  = – 56/65
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
                  = 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13
                  = –36/65 + 20/65
                  = – 16/65